L' Institut Camille Jordan accueillera du 19 au 23 mai 2014 le colloque Inter’Actions dédié aux intéractions entre les jeunes chercheurs et leurs domaines de recherches. Ce colloque s'intègre dans le cadre de la fédération Mathématiques Rhône-Alpes-Auvergne et tend à resserrer les liens entre les doctorants de ces différents laboratoires. Il s'agit de la deuxième edition de ce colloque qui avait eu lieu l'an dernier à Clermont-Ferrand.
Une question aussi ancienne que la programmation linéaire consiste à trouver une règle de pivotage pour l’algorithme du simplexe conduisant à un nombre polynomial d’opérations. Une autre question consiste à trouver un algorithme résolvant en temps polynomial un jeu répété déterministe dont la valeur est définie comme un paiement moyen par unité de temps. Nous montrons que la convexité tropicale permet de relier ces deux questions: une règle de pivotage satisfaisant certaines conditions techniques permettrait de résoudre les jeux répétés. Nous exhiberons enfin un lien inattendu entre l’analogue tropical du chemin central et le chemin suivi par l’algorithme du simplexe tropical, conduisant à la construction d’exemples pathologiques de chemins centraux classiques dont la courbure totale est grande. Cet exposé présente des travaux récents avec Allamigeon, Benchimol, et Joswig, voir notamment arXiv:1308.0454, arXiv:1309.5925). Il s’appuie sur un travail avec Akian et Guterman (arXiv:0912.2462, IJAC 2012).
La ``range property'' a été conjecturée par Böhm en 1968 et a résisté 16 ans avant d'être prouvée pour quelques théories du $lambda$-calcul. En 2007, A. Polonsky a montré que la conjecture est fausse pour la théorie $H$. Je présenterai dans cet exposé des conditions nécessaires pour que cette propriété soit vraie pour la théorie $H$. Je donnerai ensuite quelques pistes pour des extensions de ces résultats à d'autres systèmes.
We propose an abstract framework for modeling state-based systems with internal behavior as e.g. given by silent or $epsilon$-transitions. Our approach employs monads with a parametrized fixpoint operator $dagger$ to give a semantics to those systems and implement a sound procedure of abstraction of the internal transitions, whose labels are seen as the unit of a free monoid. More broadly, our approach extends the standard coalgebraic framework for state-based systems by taking into account the algebraic structure of the labels of their transitions. This allows to consider a wide range of other examples, including Mazurkiewicz traces for concurrent systems. This is joint work with Filippo Bonchi, Stefan Milius and Alexandra Silva.
Given a set E in a complex space and a point p in E, there is a unique smallest complex-analytic germ containing the germ E_p, called the holomorphic closure of E at p. The variation of holomorphic closure along E may be regarded as a measure of how much the set E is 'twisted' from the point of view of the ambient complex structure. Of particular interest is the situation when E is real-analytic (or, more generally, semianalytic). In this talk, we will explain the relevance of holomorphic closure to the so-called CR geometry (a branch of modern complex analysis). We will also discuss the possibility of taming the holomorphic closure structure and its particularly nice behaviour on arc-symmetric semialgebraic sets.
Dans cet exposé, nous étudierons un modèle mathématique de corrosion. L'étude d'un tel modèle est un enjeu important puisque les phénomènes de corrosion interviennent par exemple au coeur des centrales nucléaires ou dans le stockage de déchets radioactifs. Le modèle étudié est un modèle de dérive-di usion. Par rapport au modèle de dérive-di usion ``classique'' utilisé dans la modélisation des semi-conducteurs, l'originalité de ce modèle de corrosion tient dans ses conditions limites. En eff et il s'agit de conditions de type Robin qui induisent un couplage supplémentaire fort des équations. Apres avoir décrit le modèle, nous montrerons comment obtenir l'existence de solution au niveau continu, puis nous étudierons la convergence d'un schéma volumes fi nis.
Je présenterai dans cet exposé un travail en collaboration avec Pierre Raphaël. Je m'intéresse à l'équation du flot de la chaleur harmonique, qui est la partie dissipative de l'équation de Landau Lifshitz. Certaines considérations physiques permettent de fixer comme cadre ``raisonnable'' de travail des applications du plan vers la sphère en dimension 3. Le problème dans un cadre général est encore très mal compris. C'est pourquoi on ne considère que des solutions ayant une symétrie importante, appelées solutions k co-rotationnelles, où k est le degré d'homotopie de la solution. Cette symétrie est préservée par le flot. Pour k>= 2, l'existence globales des solutions a été démontrée en 2008 par Guan, Gustafson, Nakanishi et Tsai. Avec Pierre Raphaël, nous avons obtenu une description fine de l'explosion en temps fini dans le cas de solution 1 co-rotationnelle, avec notamment, l'existence d'un ensemble discret de vitesses de concentration. De plus, pour la vitesse la plus lente, nous avons prouvé la stabilité du régime pour des perturbations de faible énergie, les autres vitesses correspondant à des états de plus en plus instables. Ainsi, après une longue présentation du problème, je montrerai comment la construction de la solution approchée permet d'obtenir les différentes vitesses d'explosion. Ensuite, je donnerai un argument formel permettant de comprendre l'instabilité du régime pour des vitesses élevées.
Le but de cet exposé est de montrer que sous certaines hypothèses, pouvant être comparées à celles du théorème d'inversion locale, l'inverse d'une application analytique par arcs d'un ensemble algébrique réel dans lui-même est encore analytique par arcs. La première étape consiste à démontrer une version du lemme clé de Denef-Loeser pour la formule de changement de variables motivique qui satisfait nos conditions. Le reste de la preuve repose essentiellement sur le polynôme de Poincaré virtuel de McCrory-Parusinski et de Fichou.
We study temporal properties over infinite binary red-blue trees in the setting of constructive type theory. We consider several familiar path-based properties, typical to linear-time and branching-time temporal logics like LTL and CTL*, and the corresponding tree-based properties, in the spirit of the modal mu-calculus. We conduct a systematic study of the relationships of the path-based and tree-based versions of eventually always blueness '' and mixed inductive-coinductivealmost always blueness'' and arrive at a diagram relating these properties to each other in terms of implications that hold either unconditionally or under specific assumptions (Weak Continuity for Numbers, the Fan Theorem, Lesser Principle of Omniscience, Bar Induction).
Joint work with Marc Bezem and Tarmo Uustalu.
Une première partie de mon exposé sera consacrée aux EDP non linéaires liées aux processus de branchement. A partir de la construction des processus de branchement (de Markov) sur l'ensemble des configurations finies d'un l'espace d'état donné (si le processus de base est le mouvement brownien, on a une équation d'évolution non linéaire avec le gradient au carré) je montre que la solution de l'équation différentielle stochastique de fragmentation engendre un processus de Markov de fragmentation sur l'espace des dimensions de fragmentation. La première étape est de construire des processus de branchement, en utilisant des noyaux de branchement induits par la taux de fragmentation. Dans la deuxième partie je vais présenter une modélisation du déclenchement d'une avalanche dense (sols, neige ou autres géo-matériaux) sur une surface avec topographie. En partant d'un modèle d'écoulement de faible épaisseur d'un fluide visco-plastique sur une surface basale avec topographie j’introduis un critère déduit d'un problème d'optimisation, capable de distinguer si une avalanche se produit ou pas. Je propose aussi une stratégie numérique, sans maillage, pour résoudre le problème de charge limite et pour obtenir la fracture de déclenchement. L'approche numérique proposée est illustrée par la résolution de quelques problèmes modélisant le déclenchement des avalanches.
Swimming strategies at the microscopic scale involve different mechanisms to those at the human scale. At this scale, the flow is dominated by the viscosity effects of the water and becomes reversible. This feature, known as the scallop theorem needs to be circumvented in order to swim with strokes that produce a net motion of the swimmer. The talk proposes to give an overview of recent works on this topic. In particular, we will show how these problems sit at the intersection between fluid mechanics, control theory, theory of PDE and geometry.
I will explain how tropical geometry is applicable in estimations of minimal degree of a variety on which we impose conditions like passing through a number of points or lines with prescribed multiplicities.
Nous nous intéresserons à deux problèmes liés au contrôle des EDPs. Le premier concerne la stabilisation frontière de systèmes réversibles en temps et plus précisément un feedback explicite permettant d'obtenir des taux de décroissance arbitrairement grands. Nous verrons en quel sens le système en boucle fermée est bien posé puis nous étudierons le taux de décroissance de l'énergie. Le second problème peut-être résumé par la question suivante : étant donnée une corde vibrante dont on connaît la position en plusieurs instants, est-il possible de reconstruire la position et la vitesse initiales ? Nous verrons que la réponse dépend de certaines propriétés arithmétiques des intervalles entre les différents instants d'observation.
Les forces capillaires qui agissent sur la surface d’un fluide sont responsables de différentes instabilités. Je présenterai deux exemples de dynamique concernant des fluides en contact avec une surface solide. D’abord, l’évolution temporelle d’un filament liquide initialement à repos : la croissance d’ondes capillaires sur sa surface et la retractation des extrémités contribuent tous les deux à la dynamique. Je discuterai la dépendance de l’évolution temporelle et des états d’équilibre de l’angle de contact formé par le fluide avec le substrat. En suite, je montrerai la dynamique surprenante de coalescence de deux gouttes initialement à repos sur une surface super-hydrophobe. Pour un intervalle de densité et de viscosité, la goutte qui se forme réalise un mouvement orthogonal au substrat, dû à la conversion d’énergie de surface en énergie cinétique. Les résultats sont obtenus numériquement avec une approche de type interface diffuse (méthode du champ de phase). Les résultats de coalescence sont aussi comparés à des expériences menées sur une surface de Leidenfrost.
Généralisant les systèmes dynamiques symboliques substitutifs, un système est dit $S$-adique si son langage est obtenue par itérations successives de substitutions appartenant à l'ensemble fini $S$. La suite de substitutions itérées en est alors une représentation $S$-adique et fournit des informations sur le système (minimalité, nombre de mesures ergodiques, fréquence des lettres,...). Dans cet exposé, je développerai une méthode basée sur les graphes de Rauzy et les mots de retour permettant de construire une représentation $S$-adique ``canonique''. Dans le cas des sous-shifts minimaux dont la différence première de complexité en facteur est majorée par 2 (contenant notamment les sous-shifts sturmiens, d'Arnoux-Rauzy ainsi que les codages de rotations et d'échange de 3 intervales), cette méthode fournit une caractérisation $S$-adique, où $S$ contient 5 substitutions. En particulier, cette caractérisation répond à la conjecture $S$-adique pour ce cas particulier.
Ce travail s'inscrit dans la lignée des problèmes inverses en mécanique des milieux continus et plus précisément en élasticité. L'approche I-FEM (Inverse Finite Element Method) est basée sur la méthode des éléments finis. Les propriétés mécaniques (i.e. le module d'Young et le coefficient de Poisson) sont discrétisées aux noeuds de l'élément fini. Pour cela on a adapté la méthode des éléments finis étendus afin de modéliser la discontinuité des propriétés mécaniques. Le développement de ce nouveau code de calculs éléments finis sera présenté. La méthode sera illustrée par la présentation des cartographies d'élasticité de plaques d'athérome reconstruites avec succès.
Dans cet exposé, on considérera des écoulements air/eau. On travaille à nombre de Mach faible et avec un fort ratio de densité entre les deux phases. On présentera un schéma numérique Lagrange-projection robuste pour résoudre les équations de mélange, couplé à une phase de projection faiblement diffusive pour l'advection de la fraction massique de gaz. Ensuite, des comparaisons à la fois avec d'autres codes et des résultats expérimentaux seront effectuées sur divers cas de rupture de barrage et de sloshing.
Au cours de cet exposé je présenterai des méthodes numériques pour la résolution 3D du problème de Stokes, pour des fluides non homogènes qui interagissent avec des obstacles déformables. En particulier je m'intéresse à des fluides dont la viscosité n'est pas uniforme: elle dépend de la fraction massique d'un certain composant du fluide. D'un point de vue mathématique, il s'agit de résoudre un problème elliptique couplé à une équation de convection-diffusion, ce qui génère une dynamique d'écoulement non linéaire. L'algorithme de résolution est basé sur une discrétisation hybride grille-particules et des algorithmes à pas fractionnaires. Cela permet de séparer la résolution de la convection de manière lagrangienne et la résolution de la diffusion de manière eulérienne. Une méthode de projection itérative garanti l'incompressibilité de l'écoulement même près des bords, où l'erreur est traditionnellement localisée. L'interaction entre le fluide et les obstacles est gérée à l'aide de la méthode de pénalisation. Une méthode de résolution originale permet de traiter ces termes de pénalisation de manière implicite en utilisant des solveurs rapides sur grilles cartésiennes, ce qui est particulièrement adaptés pour les calculs 3D de grande dimension (en terme de temps de calcul et d'occupation mémoire). Ce travail s'inscrit dans le contexte de l'étude de l'écoulement du mucus pulmonaire autour des cellules épithéliales ciliées qui tapissent les bronches, assurant la capture et l'expectoration des agents pathogènes. L'efficacité du transport du mucus est étudiée en fonction des paramètres biologiques. D'autres simulations d'un micro-nageur et d'écoulements en milieux poreux compléteront cette présentation.
Quelle structure algébrique généralise à la fois les ensembles ordonnés et les espaces métriques? La structure de catégorie enrichie dans une catégorie monoïdale $mathcal{V}$, comme l'a montré Lawvere [1973]. En effet, si on pose $(mathcal{V},otimes,I)=([0,infty]^{sf op},+,0)$, alors la théorie des $mathcal{V}$-catégories est celle des espaces métriques; et si on pose $(mathcal{V},otimes,I)=({0,1},wedge,1)$, alors la théorie des $mathcal{V}$-catégories est celle des ensembles ordonnés. Mais comment faire si on veut parler des {em ensembles ordonnés d'éléments locaux}, autrement dit, des ensembles ordonnés dont les éléments ne sont pas définis partout''? Ou, dans le même esprit, si on veut parler des {em espaces métriques partiels}, c'est à dire, des espaces métriquesdans lesquels la distance d'un point à lui-même n'est pas nécessairement zéro''? Je vais expliquer que, dans ces cas aussi, la structure recherchée est celle de catégorie enrichie---mais, cette fois, enrichie dans une bicatégorie $mathcal{W}$. De plus, pour les éléments locaux comme pour les métriques partiels, la bicatégorie $mathcal{W}$ en question est obtenue par une construction universelle sur une catégorie monoïdale $mathcal{V}$: c'est la {em la construction des diagonaux}. Donc, pour $(mathcal{V},otimes,I)=([0,infty]^{sf op},+,0)$, les $mathcal{V}$-catégories sont les espaces métriques; et pour $mathcal{W}=mathcal{D}(mathcal{V})$ (la bicatégorie des diagonaux dans $mathcal{V}$), les $mathcal{W}$-catégories sont les espaces métriques partiels. Mais bien sûr tout espace metrique ordinaire est un espace métrique partiel; et il est aussi vrai que tout espace métrique partiel détermine (au moins) un espace métrique ordinaire. Cette relation est entièrement expliquée par des {em changements de base}, c'est à dire des foncteurs particuliers, qui existent entre $mathcal{V}$ et $mathcal{W}$. Comme autre exemple de changement de base, je vais parler de l'ordre sous-jacent d'un espace métrique, et de l'espace métrique libre sur un ordre. Je vais par ailleurs indiquer comment, par le biais des changements de base, on peut formuler des questions pertinentes à propos de ces structures. Dans mon exposé, je vais éviter toute technicité (le seul prérequis étant la notion d'ensemble ordonné), car je veux surtout insister sur l'usage de bicatégories comme base d'enrichissement pour traiter spécifiquement les phénomènes décrits ci-dessus.