In the present talk we are interested in a singular limit problem for a compressible Navier-Stokes-Korteweg system under the action of high rotation of the Earth. We study the incompressible and high rotation limits simultaneously. Moreover, we consider both the constant capillarity and the vanishing capillarity regimes. We will find that the limit velocity field is divergence-free. Moreover, we will completely characterize the equation satisfied by the limit density, which can be interpreted as a sort of stream-function for the limit velocity field. The results are based on suitable applications of the RAGE theorem.
In this work, we consider a class of second order abstract linear hyperbolic equations with infinite memory and distributed time delay. Under appropriate assumptions on the infinite memory and distributed time delay convolution kernels, we prove well-posedness and stability of the system. Our estimation shows that the dissipation resulting from the infinite memory alone guarantees the asymptotic stability of the system in spite of the presence of distributed time delay. The decay rate of solutions is found explicitly in terms of the growth at infinity of the infinite memory and the distributed time delay convolution kernels. An application of our approach to the discrete time delay case is also given. This is a joint work with Prof. Nasser-eddine Tatar, Department of Mathematics and Statistics, King Fahd University of Petroleum and Minerals (KFUPM), Saudi Arabia.
Sparse elimination theory is a framework developed during the last decades to exploit monomial structures in systems of Laurent polynomials by computing in semigroup algebras. We present an analog of Gröbner bases for semigroup algebras, and we propose variants of the algorithms F5 and FGLM to compute them. These objects provide algorithmic tools to compute efficiently the solutions of sparse systems of equations when all the polynomials share the same monomial support (unmixed case). When these monomials correspond to the points with integer coordinates in a normal lattice polytope and under regularity assumptions, we prove complexity bounds which depend on the combinatorial properties of this polytope. Our prototype ``proof-of-concept'' implementation shows large speed-ups (more than 100 for some examples) compared to classical Gröbner bases software. Joint work with Jean-Charles Faugère and Jules Svartz.
Sur une variété algébrique définie sur les rationnels et dont les points rationnels sont denses pour la topologie de Zariski, il est naturel de mesurer la complexité des solutions à l'aide d'une hauteur et de regarder la distribution asymptotique des points de hauteurs bornée sur la variété. Des travaux initiés par Manin il y a une vingtaine d'années permettent de lier cette distribution à la géométrie de la variété. Le but de l'exposé est de présenter divers exemples illustrant les phénomènes rencontrés et les interprétations qu'on peut espérer en tirer.
Un certain nombre d'applications suggère de considérer une équation des milieux poreux associée à une loi de pression non-locale et non-linéaire. Ainsi un certain nombre de variante non-locale de la très classique équation des milieux poreux ont récemment été introduites et étudiées. Pour l'une de ces variantes, j'expliquerai comment construire une solution, et ce pour une large classe de données initiales, puis comment construire des solutions auto-similaires et enfin comment montrer la vitesse de propagation finie du support de la donnée initiale. Ceci est un travail en collaboration avec Piotr Biler et Grzegorz Karch.
Le théorème de Puiseux classique dit que les solutions y=g(x) d'une équation analytique réelle f(x,y)=0 au voisinage de l'origine, sont des séries de Puiseux convergentes. Le but de mon exposé sera d'étendre ce résultat, et ses versions en plusieurs variables, à la classe des séries généralisées convergentes. Une série généralisée (en plusieurs variables) est une série de puissances à exposants réels positifs dont le support est contenu dans un produit cartésien de sous-ensembles bien ordonnés de la droite réelle. Soit A la collection de toutes les séries généralisées convergentes. Je vais montrer que si f(x_1,...,x_n,y) est dans A, alors les solutions y=g(x_1,...,x_n) de l'équation f=0 peuvent être exprimées par morceaux comme des compositions finies de quotients de fonctions de A. Ce résultat s'étend à des classes de fonctions définissables dans des expansions o-minimales polynomialement bornées du corps réel, telles les classes quasianalytiques de Denjoy-Carleman, les séries Gevrey multi-sommables et une classe qui contient certaines applications de transition de Dulac associées à des champs de vecteurs analytiques du plan.
Récemment, nos connaissances sur la stabilité des ondes progressives périodiques ont connu une croissance rapide, principalement motivée par des applications à l'étude de certaines ondes de surface. Nous essaierons de passer en revue la théorie essentiellement complète disponible pour les systèmes paraboliques, et qui inclut la description de St Venant de la dynamique proche des rouleaux visqueux, et discuterons l'évolution linéarisée autour des ondes cnoidales de Korteweg--de Vries, qui modèlent en particulier les ondes de surface longues et de petite amplitude.
Travail en commun et en cours avec M. Hickel. Nous essayons de comprendre ce qui distingue une série de Puiseux algébrique (sur K(x) le corps des fonctions rationnelles à 1 variable en caractéristique nulle) d'une série de Puiseux formelle. Plus précisément, nous nous intéressons - et répondons en partie - aux questions suivantes : - étant donnée une équation polynomiale P(x,y)=0, quelle expression pour les coefficients d'une série de Puiseux y(x) solution en fonction des coefficients de l'équation ? - étant donnée une série de Puiseux algébrique, peut-on reconstruire un polynôme annulateur, éventuellement minimal ? comment ? Il existe une littérature variée sur ce thème, que j'essaierai de rapporter, avant d'aborder nos contributions.
In this talk I will focus on the problem of understanding the topology of an intersection X of real quadrics. I will introduce a new notion of geometric complexity (inspired to fewnomials and related), using the discriminant in the space of quadratic forms. I will discuss a sort of duality'' between X and the set of singular quadrics in the linear system defining it; in the case of intersections of three quadrics this picture offers adual'' point of view on Hilbert's Sixteenth Problem.
Ces travaux s'inscrivent dans la thématique de l'inférence géométrique dont le but est de répondre au problème suivant : étant donné un objet géométrique dont on ne connaît qu'une approximation, peut-on estimer de manière robuste ses propriétés? On se place dans le cas où l'approximation est un nuage de points ou un ensemble digital dans un espace euclidien de dimension finie. On montre un résultat de convergence multigrille d'un estimateur du Voronoi Covariance Measure qui utilise des matrices de covariance de cellules de Voronoi. Ce résultat, comme la plupart des résultats en inférence géométrique, utilisent la stabilité de la fonction distance à un compact. Cependant, la présence d'un seul point aberrant suffit pour que les hypothèses des résultats de stabilité ne soient pas satisfaites. La distance à une mesure est une fonction distance généralisée introduite récemment qui est robuste aux points aberrants. Dans ce travail, on généralise le Voronoi Covariance Measure à des fonctions distances généralisées et on montre que cet estimateur appliqué à la distance à une mesure est robuste aux points aberrants. On en déduit en particulier un estimateur de normale très robuste. On présente également des résultats expérimentaux qui montrent une forte robustesse des estimations de normales, courbures, directions de courbure et arêtes vives. Ces résultats sont comparés favorablement à l'état de l'art.
Nous présentons une nouvelle librairie pour le calcul des variations, la librairie CalcVar. Une attention particulière a été portée lors du développement au calcul efficace de l’évaluation numérique de la fonction coût, de son gradient et de sa matrice hessienne. Nous regardons aussi la régularisation des surfaces discrètes par la minimisation d’énergies. Nous nous intéressons plus particulièrement à l’étude numérique de ce type d’approximation en dimension trois. Nous montrons comment cette approche peut permettre la régularisation de contours en présence de singularités. d’ordre deux. Nous proposons enfin un nouvel algorithme de génération aléatoire d’objets de largeur constante dont nous établissons la convergence presque sûre. Ce travail est, à notre connaissance, le premier algorithme permettant de générer des objets de largeur constante sans informations géométriques restrictives (symétrie de révolution, coupe de largeur constante, etc.).
Many methods have been proposed to estimate differential geometric quantities like curvature on discrete data. A common characteristics is that they require (at least) one user-given scale parameter, that smooths data to take care of both the sampling rate and possible perturbations. Digital shapes are specific discrete approximation of Euclidean shapes, which come from their digitization at a given grid step. They are thus subsets of the digital plane Z^d. A digital geometric estimator is called multigrid convergent whenever the estimated quantity tends towards the expected geometric quantity as the grid step gets finer and finer. The problem is then: can we define curvature estimators that are multigrid convergent without such user-given parameter ? If so, what speed of convergence can we achieve ? We present here three digital curvature estimators that aim at this objective: a first one based on maximal digital circular arc, a second one using a global optimisation procedure, a third one that is a digital counterpart to integral invariants and that works on 2D and 3D shapes.
Motivé par l'étude de la théorie du corps des nombres complexes avec exponentielle, et remarquant que les fonctions définissables y sont, une fois C identifié à R^2, localement sous-analytiques, Wilkie entame une étude systématique des réduites de R_an engendrées par des fonctions holomorphes restreintes. Il propose la conjecture ci-dessous. Soit A une famille de fonctions holomorphes, et notons R_A| la structure (o-minimale) engendrée par les parties réelles et imaginaires des fonctions de A restreintes aux pavés relativement compacts de leurs domaines. Conjecture (Wilkie 08) : Les fonctions holomorphes localement définissables dans R_A| sont toutes obtenues à partir de A et des polynômes par composition, réflexion de Schwartz, dérivation partielle et prise de fonction implicite. On donnera trois contre-exemples à cette conjecture, qui chacun montre qu'une opération supplémentaire est nécessaire pour obtenir toutes les fonctions localement définissables : la division monomiale, la composition avec les racines n-iemes, et les effondrements. Si le temps le permet, on montrera aussi que ces trois opérations sont, en un certain sens, suffisantes.