Un mécanisme est un ensemble de tiges rigides reliées par des joints flexibles. Mathématiquement, il s'agit d'un graphe ``marqué'' : chaque arête possède une longueur fixée et certains sommets ont une position fixée, tandis que d'autres peuvent se déplacer. L'espace de configuration d'un mécanisme est l'ensemble de ses positions possibles. Cet espace est un ensemble algébrique et, le plus souvent, une variété lisse. La plupart des travaux existants considèrent des mécanismes dans le plan euclidien, même si des mécanismes dans d'autres cadres (sphère, plan hyperbolique) ont déjà été étudiés. En 2002, Millson et Kapovich ont montré que pour toute variété différentiable compacte M, il existe un mécanisme sur le plan euclidien dont l'espace de configuration est l'union disjointe d'un nombre fini de copies de M. C'est un résultat que Thurston avait présenté dans des cours, mais jamais publié. Nous verrons comment ce résultat se transpose dans le cadre de mécanismes sur le plan de Minkowski, c'est-à-dire le plan muni de la forme quadratique non définie dx^2 - dt^2 : dans cette situation, il s'étend même à certaines variétés non compactes.
Inauguration de la Fédération de Recherche en Mathématiques Rhône-Alpes-Auvergne, Lyon, Amphithéâtre ASTREE, 13, Campus scientifique de la Doua Vendredi 28 Février 2014, horaires à définir. Cédric Villani Des triangles, des gaz, des prix et des hommes'', Eric BlayoLes maths c'est bon pour la planète'', Laurent Chupin ``Equations au cœur de la roche''. Voir http://frmraa.math.cnrs.fr/
We will discuss a geometric proof of the theorem on Nash approximation of analytic maps into algebraic varieties. (Joint work with A. Parusinski.)
In this talk, we present an interactive semantics for derivations (i.e., formal proofs) in an infinitary extension of classical logic. The formulas of our language are possibly infinitary (i.e., not necessarily well-founded, and not necessarily finitely branching) trees labeled by logical connectives and propositional variables. We show that in our setting every recursive formula equation has a unique solution. As for derivations, we use an infinitary variant of the standard Tait-calculus to derive sequents. In our sequent calculus, derivations are defined to be possibly infinitary trees labeled by sequents and rules. The interactive semantics we introduce is somehow similar to Girard's ludics, inasmuch as it builds upon a suitable procedure of cut-elimination. We show a completeness theorem for derivations, that we call interactive completeness theorem.
La règle de Descartes borne le nombre de racines positives d'un polynôme réel en une variable par le nombre de changements de signe consécutifs de ses coordonnées dans la base monomiale (ordonnée suivant les puissances croissantes). La borne obtenue est optimale et généraliser la règle de Descartes aux systèmes polynomiaux en plusieurs variables est un problème très difficile. Dans un travail avec Alicia Dickenstein (Université de Buenos Aires), nous avons obtenu la première généralisation de la règle de Descartes en plusieurs variables. Notre règle s'applique aux systèmes polynomiaux en un nombre arbitraire n de variables dont le support consiste en n+2 monômes quelconques et est également optimale. Elle borne le nombre de solutions positives d'un tel système par un nombre de changements de signe obtenus en considérant des mineurs maximaux de la matrice des coefficients ainsi que de celle des exposants du système.
Dans cet exposé je présenterai la notion de catégorie mu-bicomplète, et instancierai cette notion avec la catégorie des ensembles, via la notion de jeu de parité. J'expliquerai ensuite l'importance de chercher un syntaxe adéquate pour dénoter toutes les flèches d'une catégorie mu-bicomplète libre. Je proposerai donc la notion de preuve circulaire (avec la condition sur les cycles qu'elle doit satisfaire) comme une telle syntaxe ; je justifierai cette proposition par les résultats de correction et complétude (fortes, catégoriels) du calcul, par rapport à la sémantique catégorielle envisagée. Nous montrerons qu'un théorème d’élimination des coupures vaut, car on peut éliminer les coupures d'un preuve circulaire finie avec cut, pour obtenir un arbre de preuve infini sans cut. Nous montrerons comment ce processus d’élimination des coupures amène à caractériser toutes les fonctions d'ensembles qui sont l'image d'une flèche d'une catégorie mu-bicomplete libre.
Dans cet exposé on s'intéresse au couplage de modèles à dimensions spatiales hétérogènes. Dans un premier temps je présente un cas académique de couplage 1-D/2-D dans le cadre elliptique. Je commence par définir les opérateurs de restriction et d'extension nécessaires à l'analyse en se basant sur la dérivation du modèle 1-D à partir du modèle 2-D. Après cela, je présente un algorithme de couplage de type Schwarz avec des conditions de type Robin. Je montre alors la convergence de cet algorithme, plus particulièrement sa convergence optimale en utilisant l'opérateur absorbant exact 1-D. Je termine cette partie en établissant une majoration de l'erreur entre la solution couplée et la solution globale de référence en fonction du rapport d'aspect du domaine d'étude et de la position de l'interface de couplage. Ces résultats seront illustrés numériquement. Dans la deuxième partie, je généralise cette analyse mathématique au cas du couplage des systèmes linéaires de Saint-Venant 2-D et de Navier-Stokes hydrostatiques 3-D. En faisant l'hypothèse d'une friction nulle au fond, je montre que la convergence de l'algorithme de couplage est équivalente à celle de l'algorithme usuel de décomposition de domaine du Système de Saint-Venant. Je propose alors un algorithme avec des conditions de type Robin, dont je montre la convergence. Enfin, je présente une première étude d'un cas test réel de couplage des systèmes de Saint-Venant 1-D et Navier-Stokes 3-D en utilisant les codes numériques Mascaret 1-D et Telemac 3-D développés par EDF R&D.
I will present a model of motion of compressible mixture of chemically reacting species. Mathematical description of such flow leads to a hyperbolic deviation in the species mass conservation equations (the full Maxwell-Stefan system). The thermodynamics implies that the diffusion terms are non-symmetric, non positively defined, and cross-diffusion effects must be strongly marked. We consider a special form of degenerate density-dependent viscosity coefficients and a singular behavior of the cold component of the internal pressure near vacuum. Under these hypotheses we prove global-in-time existence of weak solutions. This result is based on several joint papers with P.B. Mucha and M. Pokorny.
Au cours de cet exposé, je vous présenterai mes thèmes de recherche à l'interface entre mathématiques et écologie et mes problématiques de travail. Un de mes axes d'étude est de comprendre et de décrire les effets de la dispersion et de la croissance d'une population sur son devenir et notamment sur sa diversité génétique. Dans un premier temps, je décrirai les divers modèles mathématiques utilisés en dynamique des population et en génétiques des populations pour répondre à ces questions. Ensuite, je vous montrerai comment mon approche mathématique basée sur des EDPs permet de décrire la dynamique de la diversité génétique d'un population en expansion. Ces travaux sont basés sur l'étude de solutions particulières des équations de réaction-dispersion: les fronts progressifs ou traveling waves. Ces solutions décrivent l'invasion d'un état stationnaire du système par un autre.
L'objet de cet exposé est l'étude des variétés algébriques affines normales munies d'une opération d'un tore algébrique $T$. Le corps de base est supposé arbitraire. Nous exposons une description combinatoire inspirée des travaux de Klaus Altmann et de Juergen Hausen de ces variétés lorsque l'opération de $T$ est de complexité un. Ensuite nous donnerons quelques résultats nouveaux les concernant.
Nous montrerons dans ce séminaire comment des outils mathématiques de géométrie discrète et de théorie des pavages peuvent servir à résoudre des problèmes de bio-mathématiques et en particulier de comprendre les interactions protéines-protéines. On va ainsi montrer comment ces interactions mènent à des polymères ``normaux'', à des virus ou à des fibres...
Un polynôme non nul de degré d a au plus d racines complexes. Mais on sait, depuis les travaux de Descartes, que le nombre de monômes est lui aussi un paramètre limitant du nombre de racines réelles. Plus précisément, un polynôme avec t monômes a au plus 2t-1 racines réelles. Que se passe t'il maintenant si l'on considère les solutions d'un système de polynômes? Dans, le cas complexe, le théorème de Bézout permet de borner leur nombre par le produit des degrés. Mais dans le cas réel, existerait-il une borne supérieure ne dépendant que des nombres de monômes? Et dans ce cas, quelle est cette borne? Le problème de l'existence a été résolue par Khovanskií, mais la question de son ordre de grandeur reste grandement ouverte. Un cas particulier connu comme le problème de Sevostyanov est celui d'un système composé d'un polynôme de degré d et d'un polynôme t-creux. Nous présenterons dans cet exposé, une borne polynomiale en t et en d pour ce problème..
En 1948 H.S. Wall a publié ses résultats sur la théorie analytique des fractions continues. Dans la première partie de cet exposé nous décrivons cette classe remarquable de fractions continues appelées g-fractions. Nous montrerons comment elles peuvent être utilisées pour approcher certaines applications analytiques bornées réelles. La deuxième partie sera consacrée aux divers applications. Nous discuterons la conjecture de Ramanujan, la théorie de renormalisation des applications unimodales, ABC-flow et le problème de n-centres de la Mécanique Céleste
Alvaro MATEOS GONZALES : Méthodes d'entropie pour une équation de renouvellement. Dans le cadre de la sous-diffusion intracellulaire, nous nous intéressons à une équation de renouvellement en âge, à sauts en espace, nous présentons une preuve de la convergence de la solution vers l'état stationnaire, partant d'un changement d'échelle autosimilaire. Un lemme permettant de comparer des dissipations d'entropie par rapport à des mesures absolument continues l'une par rapport à l'autre, puis une inégalité d'entropie comparant la solution à une sur-solution qui converge vers l'état stationnaire, permettront de conclure. Charlotte PERRIN : Existence de solutions pour le système de Navier-Stokes-Korteweg. Cet exposé se base sur un article récent de Pierre Germain et Philippe G. LeFloch, The finite energy method for compressible fluids, the Navier-Stokes-Korteweg model (2012). On étudiera la question de l'existence de solutions d'énergie finie pour le système d'équations de NS Korteweg, équations qui modélisent l'écoulement isentropique d'un fluide compressible soumis à des forces de viscosité et de capillarité. Cet exposé a pour but d'introduire quelques unes des principales techniques pour l'étude des fluides compressibles : estimations d'énergie, d'entropie, lemmes de compacité, phénomènes de cavitation, ...
Dans cet exposé nous nous intéressons au Laplacien magnétique semi-classique dans des domaines polyédraux de dimension 3. Motivés par le phénomène de supraconductivité de surface pour des champs magnétiques de grande intensité, nous cherchons à déterminer le comportement asymptotique de la première valeur propre lorsque le paramètre semi-classique tend vers 0. Nous montrons que le comportement de la première valeur propre est gouverné par une hiérarchie de problèmes modèles définis sur les cônes tangents au domaine. Nous obtenons le premier terme de l'asymptotique de la première valeur propre ainsi qu'une estimation du reste. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Monique Dauge et Virginie Bonnaillie-Noël
Le calcul de l'infimum global $f^star$ d'un polynôme à $n$ variables sous contraintes est une question centrale qui apparaît dans de nombreux domaines des sciences de l'ingénieur. Pour certaines applications, il est important d'obtenir des résultats fiables. De nombreuses techniques ont été développées dans le cas où les contraintes sont données par des inéquations polynomiales. Dans cet exposé, on se concentre sur le problème d'optimisation d'un polynôme à $n$ variables sous des contraintes définies par des équations polynomiales à $n$ variables. Le but est d'obtenir des outils, algorithmes et implémentations efficaces et fiables pour résoudre ces problèmes d'optimisation. La stratégie est de ramener le problème d'optimisation sous des contraintes qui définissent des ensembles algébriques de dimension quelconque à un problème équivalent, sous des nouvelles contraintes dont on maîtrise la dimension. La variété algébrique définie par ces nouvelles contraintes est l'union du lieu critique du polynôme objectif et d'un ensemble algébrique de dimension au plus $1$. Pour cela, on utilise des objets géométriques définis comme lieux critiques de projections linéaires. Grâce au bon contrôle de la dimension, on prouve l'existence de certificats pour des bornes inférieures sur $f^star$ sur nos nouvelles variétés. Ces certificats sont donnés par des sommes de carrés et on ne suppose pas que $f^star$ est atteint. De même, on utilise les propriétés de nos objets géométriques pour concevoir un algorithme exact pour le calcul de $f^star$. S'il existe, l'algorithme renvoie aussi un minimiseur. Pour un problème avec $s$ contraintes et des polynômes de degrés au plus $D$, la complexité est essentiellement cubique en $(sD)^n$ et linéaire en la complexité d'évaluation des entrées. L'implantation, disponible sous forme de bibliothèque Maple, reflète cette complexité. Elle a permis de résoudre des problèmes inatteignables par les autres algorithmes exacts.
Nous introduirons dans cet exposé quelques concepts de combinatoires analytiques (méthode symbolique, Théorèmes de transfert, Transformations de Mellin) et tenterons de montrer en quoi cette approche peut être utile pour certains problèmes de géométrie discrète. Plus particulièrement, nous nous intéresserons à l'étude asymptotique du nombre de convexes discrétisés de périmètre n. Cet exposé repose sur l'article ``Asymptotic Analysis and Random Sampling of Digitally Convex Polyominoes'', travail en commun avec P. Duchon, A. Jacquot et L. Mutafchief.
Un ensemble fini de sous espaces affines de codimension un d'un espace vectoriel donné est un arrangement d'hyperplans. L'étude des arrangements est un sujet très classique, au carrefour de nombreux domaines des mathématiques comme la combinatoire, la topologie ou la géométrie algébrique. Voici une liste non exhaustive de questions très élémentaires qui sont à l'origine du sujet et qui motivent les travaux le concernant : - ``En combien de régions n droites peuvent diviser le plan ?'' (Roberts 1889, Arnol'd) - Quelles configurations droites/points sont réalisables ? - Combien de pentes sont définies par n points distincts ? (Ungar) - Le problème de Sylvester-Gallai (montrer qu'un ensemble fini de points plans ne possédant pas de bisécante stricte est aligné), - Est-ce qu'un arrangement est déterminé par sa combinatoire ? Je parlerai de la conjecture de Terao (1981 ou 1991) qui concerne plus particulièrement le dernier point (les autres points seront eux aussi abordés). Avec Daniele Faenzi (Univ. Pau) nous avons démontré cette conjecture sur le plan projectif réel ou complexe avec une hypothèse supplémentaire sur les points multiples de l'arrangement. Je présenterai les grandes lignes de notre preuve et surtout de notre approche, radicalement nouvelle par rapport aux approches classiques.